Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 51

23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

51.

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo tranquilo?

Para descobrirmos se a sequência em questão converge ou não, devemos aplicar o limite com tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências. Assim como discutido na seção 11.1 do Stewart, temos que:

Se existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge.

Então, o que precisamos fazer aqui é o cálculo de:

Nesse caso, podemos simplificar nossa análise “jogando” o limite para dentro da função arctg. Porém esse processo só pode ser feito com funções contínuas, que não é o caso das sequências. Então aplicaremos o Teorema 3 do nosso livro.

Passo 2

O Teorema 3 nos traz que:

e quando é um inteiro, então o

Em termos simples: se a função tem um "comportamento final" quando vai para o infinito, então a versão "discreta" da função (os termos para valores inteiros de ) também deve ter esse mesmo "comportamento final" quando vai para o infinito.

Aplicando esse Teorema, teremos:

E agora sim podemos ‘’jogar’’ nosso limite para dentro da função , já que agora estamos tratando de funções contínuas.

Como com , teremos então a constante:

A função arco tangente ou é a função inversa da tangente. Em palavras simples, ela nos dá o ângulo cuja tangente é igual a um determinado valor.

Quando estamos falando do arctg de , estamos buscando o ângulo cuja tangente é infinita.

Sabemos que a medida que se aproxima do infinito, o valor de se aproxima cada vez mais de , que é o valor do ângulo cuja tangente é infinitamente grande e positiva.