Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 31
23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
31.
Passo 1
Fala Aí, tudo beleza? Nessa questão precisamos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge, certo?
Para descobrirmos se a sequência em questão converge ou não, devemos aplicar o limite com tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências. Assim como discutido na seção 11.1 do Stewart, temos que:
Se existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge.
Show de bola?
Passo 2
Sendo assim, aplicando o limite na sequência do enunciado, teremos:
Não sei se você sabe, mas quando lidamos com limites envolvendo termos que crescem sem limites, é útil pra gente identificarmos a parte dominante da expressão. Isso costuma nos ajudar na avaliação do limite.
Então, nessa sequência, se dividirmos todos os termos por , estaremos “normalizando” a expressão, ficando mais fácil de analisar.
Isso porque é a parte que cresce mais rápido conforme aumenta, e quando dividimos todos os termos pela mesma quantidade, estamos reduzindo a expressão para uma forma mais simples e mais fácil de entender. Sacou??
Passo 3
Assim, dividindo todos os termos por , teremos:
Simplificando, teremos
Passo 4
Agora vamos analisar o numerador e o denominador.
Para o numerador temos que .
Para o denominador temos que .
Sendo assim, a conclusão é de que a sequência diverge, uma vez que não é um valor determinado.