Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 45
Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo tranquilo?
Galerinha, conforme os termos da sequência vão crescendo, esses termos vão se aproximando de um valor fixo e dizemos que essa sequência converge para esse valor e tem um limite:
Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge. Bora aplicar isso a nossa questão? Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada:
Bora, então!
Passo 2
Vamos resolver esse limite??
Como temos multiplicando a função seno, podemos colocar o inverso de que é fazendo a operação inversa da multiplicação, que é a divisão. Reescrevendo esse limite, temos o seguinte:
Nós fizemos essa manipulação para ficarmos com o denominador igual ao argumento da função seno, o que vai facilitar que a gente faça uma substituição de variável.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição de variáveis aqui. Seja . A tendência do limite muda também: como é o inverso de , a tendência também será, ou seja, . Substituindo no limite, temos:
Acontece que esse limite é um limite de resultado bem conhecido. Ele se chama limite fundamental trigonométrico e seu valor é:
Ou seja, nossa sequência converge para 1.
Resposta
A sequência converge para !