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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 57

O índice Shannon (às vezes chamado de índice Shannon-Wiener ou índice Shannon-Weaver) é uma medida da diversidade em um ecossistema. Para o caso de três espécies, é definido como

H = - p 1 ln ⁡ p 1 - p 2 ln ⁡ p 2 - p 3 ln ⁡ p 3

Onde P i é a proporção de espécies i no ecossistema.

(a) Expresse H como uma função de duas variáveis usando o fato de que p 1 + p 2 + p 3 = 1 .

(b) Qual é o dominio de H ?

(c) Encontre o valor máximo de H . Para quais valores de p 1 , p 2 , p 3 ocorre?

Passo 1

Bom galera, aqui nós temos a função

H = - p 1 ln ⁡ p 1 - p 2 ln ⁡ p 2 - p 3 ln ⁡ p 3

onde P i é a proporção de espécies i no ecossistema. Queremos expressar essa função com dependência apenas em duas variáveis.

Além disso, vamos encontrar o domínio de H e encontrar o maior valor dessa função. Para encontrar o maior valor da função, vamos precisar obter os pontos críticos, que são encontrados quando fazemos ∇ H = 0 .

Vamos ver como isso se desenrola agora.

Passo 2

a) Vamos isolar p 3 e substituir na função H :

p 1 + p 2 + p 3 = 1

Implica em

p 3 = 1 - p 1 - p 2

Ai, a gente só substitui p 3 :

H = - p 1 ln ⁡ p 1 - p 2 ln ⁡ p 2 - p 3 ln ⁡ p 3

→ H = - p 1 ln ⁡ p 1 - p 2 ln ⁡ p 2 - ( 1 - p 1 - p 2 ) ln ⁡ ( 1 - p 1 - p 2 )

Essa é a nossa função em termos de duas variaveis.

Passo 3

b) Beleza, para descobrir o domínio vamos olhar bem a função:

H = - p 1 ln ⁡ p 1 - p 2 ln ⁡ p 2 - p 3 ln ⁡ p 3

Uma função logarítmica não pode ter argumento negativo ou nulo, então devemos impor

p 1 > 0

p 2 > 0

p 3 > 0

E com a equação:

p 1 + p 2 + p 3 = 1

A gente percebe que:

0 < p 1 , p 2 , p 3 < 1

Passo 4

Agora a gente obtem o ponto crítico quando:

∇ H = 0

Lembrando que

∇ H = ∂ H ∂ p 1 , ∂ H ∂ p 2 , ∂ H ∂ p 3 = H p 1 , H p 2 ,   H p 3

E

H = - p 1 ln ⁡ p 1 - p 2 ln ⁡ p 2 - p 3 ln ⁡ p 3

Derivando H com relação a p 1 , obtemos:

H p 1 = - ln ⁡ p 1 - 1

Derivando com relação a p 2 :

H p 2 = - ln ⁡ p 2 - 1

Derivando com relação a p 3 :

H p 3 = - ln ⁡ p 3 - 1

Igualando todas as derivadas a zero, obtemos:

p 1 = p 2 = p 3 = 1 3

Agora a gente só substitui em H e achamos:

H = ln ⁡ 3

Resposta

(a)

H = - p 1 ln ⁡ p 1 - p 2 ln ⁡ p 2 - 1 - p 1 - p 2 ln ⁡ 1 - p 1 - p 2

(b)

0 < p 1 , p 2 , p 3 < 1

(c)

Máximo: ln ⁡ 3

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