Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 49

Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

Passo 1

Galerinha, belezura?

Nessa questão queremos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge, certo?

Então bora lá! Para determinarmos se a sequência

converge ou diverge, podemos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito.

Daí você pode estar se perguntando: Por que isso??

Vamos relembrar que uma sequência tem limite e escrevemos

se conseguirmos fazer os termos de chegarem mais próximos de usando um valor para suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge. Sacou?

Então vamos aplicarmos isso a nossa questão. Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!

Passo 2

Vamos chamar de o limite e resolvê-lo!

Se você reparar, aqui temos uma subtração de duas funções de logaritmo. Para simplificar a expressão e ficar mais fácil de avaliar o limite, podemos usar a regra da diferenciação de logaritmos.

A regra da diferença de logaritmos diz que pode ser escrito como , e vice-versa. Assim,

Ou seja,

Show de bola?!

Passo 3

Agora vamos colocar em evidência tanto no denominador quanto no numerador. Com isso, temos:

Epa! Explica melhor isso aí!!

Calmaa! Ao colocarmos em evidência tanto no numerador quanto no denominador, estamos isolando o termo que cresce mais rapidamente à medida que aumenta, pois cresce mais rapidamente do que , quando tende ao infinito.

Então, ao escrever a expressão como , estamos essencialmente dividindo todos os termos pelo termo dominante, o que simplifica a expressão e torna mais fácil visualizarmos o comportamento da função quando tende ao infinito. Sacou?