Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

a_n = (ln(n)^2) / n

Passo 1

Galerinha, uma sequência a n tem limite L e escrevemos

lim n → ∞ ⁡ a n = L

se conseguirmos fazer os termos de a n chegarem mais próximos de L usando um valor para n suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge. Que tal, então, aplicarmos isso a nossa questão? Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 2 n

Passo 2

Vamos chamar de L o limite e resolvê-lo!

L = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 2 n

Aplicando o limite, temos:

L = ∞ ∞

Temos aqui uma indeterminação! Vamos aplicar a regra de L’Hospital no limite para melhorar a situação.

L = l i m n → ∞ 2 ( ln ⁡ n ) 1 n 1

L = l i m n → ∞ 2 ( ln ⁡ n ) n

Resolvendo o limite, temos:

L = ∞ ∞

Mais uma vez caímos numa indeterminação. Vamos, mais uma vez, aplicar a regra de L’Hospital para resolver o limite.

L = l i m n → ∞ 2 1 n

Aplicando o limite, temos:

L = 0

A sequência converge para zero!

Resposta

A série converge para zero!

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