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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 5

4-6. Determine a derivada direcional de   f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo θ .

5. f x ,   y = y cos ⁡ x y ,   0 ,   1 ,   θ = π 4

Passo 1

Faaaala galera! É o seguinte... Essa questão nos dá a função

f x ,   y = y cos ⁡ x y

E quer a derivada dessa função no ponto ( 0,1 ) e na direção dada pelo ângulo   θ = π 4 .

Temos que ter em mente que a derivada direcional de uma função f x , y na direção de um vetor unitário u → é dada por

D u f x , y = ∇ f ⋅ u →

No nosso caso, a direção é dada pelo ângulo θ = π 4 , ou seja, um vetor que unitário que dá a direção de θ é

u → = cos ⁡ θ   x ^ + sen ⁡ θ   y ^

Portanto, a derivada direcional será:

D u f x ,   y = f x x ,   y cos ⁡ θ + f y x ,   y   s e n   θ

Nosso trabalho agora é encontrar as derivadas de f com relação a x   e a y .

Passo 2

Já que falamos em derivadas, vamos encontrar nossas derivadas de uma vez logo, saca só:

f x = ∂ ∂ x ( x y 3 - x ² )

f x = y ⋅ - s e n x y ⋅ y = - y 2 ⋅ s e n x y

f y = cos ⁡ x y - y ⋅ s e n x y . y = cos ⁡ x y - y 2 ⋅ s e n x y

O ponto que nos foi dado é ( 0 ,   1 ) , então:

f x 0 ,   1 = - 1 ⋅ s e n 0 = 0

f y 0 ,   1 = cos ⁡ 0 - 1 ⋅ s e n 0 = 1

Passo 3

Agora que já encontramos a derivada no ponto, vamos aplicar na fórmula da derivada direcional que escrevemos no passo 1, se liga:

D u f 0 ,   1 = 0 ⋅ cos ⁡ π 4 + 1 ⋅ s e n π 4

∴ D u f 0 ,   1 = 2 2

Resposta

D u f 0 ,   1 = 2 2

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