Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 56
Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
Passo 1
Fala, pessoal! Beleza? Vamos ver como resolver essa questãozinha:
Lembrando aqui que nossa sequência terá limite e escrevemos
Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge.
Vamos aplicar esse conceito à nossa questão e ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!
Vamos avaliar o seguinte limite:
Faremos algmas simplificações nesse limite para facilitar nosso cálculo.
Show? Então bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar esses termos para que fique mais claro o comportamento da nossa sequência. A sequência pode ser reescrita da seguinte forma:
A vantagem desse novo arranjo de termos é que fica mais claro o comportamento oscilatório da nossa sequência, cujos valores se tornam positivos para valores pares de e negativos para valores ímpares.
Vamos então calcular o módulo do limite, para considerar somente valores positivos.
Precisamos fazer mais algumas manipulações:
Passo 3
Uma forma de análise de sequências com termos fatoriais é “abrirmos” esses termos para tentar colocar termos em evidência:
Como o denominador é maior do que o numerador, acontece que essa fração converge para zero. Isso pode ser visto através do último termo da fração , que converge para zero quando , fazendo com que toda a fração seja igual a zero. Então, isso nos dá:
Sabe-se que se , então
Ou seja:
Como , então a sequência é convergente e converge para zero!
Resposta
A série converge para zero!