Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.

r t = ⟨ 2 cos ⁡ t , 3 t , 2 sen ⁡ t ⟩

Passo 1

Primeiramente, vamos relembrar o que é cada uma dessas definições.

Dado uma função r ( t ) , função posição, a velocidade é a primeira derivada desta função. Logo,

v t = r ' ( t )

Já a velocidade escalar é nada mais nada menos que a norma do vetor velocidade! Por fim, a aceleração é a primeira derivada da velocidade, e consequentemente, a segunda derivada da função posição:

a t = r ' ' ( t )

Portanto, precisamos partir para derivar a nossa função!

Passo 2

Inicialmente, vamos calcular a velocidade da nossa partícula. Para isto, basta derivar cada uma das coordenadas separadamente. Logo,

v t = r ' ( t )

v t = ⟨ - 2 sen ⁡ t , 3,2 cos ⁡ t ⟩

Observem que uma coordenada não influencia na outra!

Passo 3

Para calcularmos a velocidade escalar da partícula, precisamos calcular a norma do vetor aceleração. Portanto, podemos assumir um sistema de coordenada ortogonal e tirar a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada uma das coordenadas! Logo,

v t = - 2 sen ⁡ t 2 + 3 2 + 2 cos ⁡ t 2

v t = 4 sen 2 ⁡ t + 9 + 4 cos 2 ⁡ t

v t = 4 sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + 9

v t = 13

Passo 4

Por fim, vamos calcular a aceleração da nossa partícula. Para isto, basta derivarmos a função velocidade. Logo,

a t = v ' t

a t = ⟨ - 2 cos ⁡ t , 0 , - 2 sen ⁡ t ⟩

Resposta

Velocidade:

v t = ⟨ - 2 sen ⁡ t , 3,2 cos ⁡ t ⟩

Velocidade escalar:

v t = 13

Aceleração:

a t = ⟨ - 2 cos ⁡ t , 0 , - 2 sen ⁡ t ⟩

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