Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 14
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Passo 1
Fala pessoal, Beleza?Mais uma questãozinha de teste de convergência... Nesse exercício iremos utilizar o teste da razão para descobrir qual a situação dessa série. Porque o teste da razão? Ora, o teste da razão pode ajudar a identificar se a série é absolutamente convergente ou se é apenas condicionalmente convergente. Além disso, há um termo ao fatorial, o que pode dificultar o uso de outros métodos.
Passo 2
Vamos relembrar o que diz o teste da razão?
- Uma série é absolutamente convergente, (toda série absolutamente convergente é convergente) se
- Se a série é divergente.
Você deve estar se perguntando: “E se o limite for exatamente igual a ?” Bom... nesse caso meu amigo, não podemos dizer nada sobre a convergência da série, e somos obrigados a escolher outro método.
Vamos usar o teste da razão: Colocando
Escrevendo:
Nossa!!! Que equação grande. Vamos simplificar isso?!
De imediato vamos “sumir” com os valores e . Pois estamos interessados apenas no módulo. E o sinal não irá interferir no resultado.Com isso temos:
ÚFA!!! Melhorou né? Pela própria definição de fatorial também sabemos que:
De modo que temos:
Simplificando mais ainda temos:
E podemos facilmente calcular esse limite:
Clássico caso em que o denominador avança para o infinito muito mais rápido que o numerador.
Portanto,
Pelo, teste da razão, a série é absolutamente convergente.
Resposta
A série é absolutamente convergente.