Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a_n = n / (1 + raiz(n))

Passo 1

Fala, galera!

Será que essa sequencia converge ou diverge?

Pra saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa calcular o limite dela com n indo pro infinito:

l i m n → ∞   a n

Se o resultado for um valor finito, então a sequencia converge. Se der + ∞ ou - ∞ , então a sequencia diverge.

Vamos então aplica à nossa sequencia:

l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   n 1 + n

Passo 2

Se a gente só substituir na variável, achamos uma indeterminação:

l i m n → ∞   n 1 + n = ∞ ∞

Então presta atenção nessa dica que eu vou dar agora!

Quando vamos calcular limites no infinito, uma técnica boa é dividir todos os termos pela meior potência da variável, que no caso aqui é n mesmo. Vamos fazer isso:

l i m n → ∞   n 1 + n = l i m n → ∞   n n 1 n + 1 n = l i m n → ∞   1 1 n + 1 n

O motivo de fazer isso é que esses termos com uma constante no numerador e a variável no denominador são anulados:

l i m n → ∞ 1 n = 0

l i m n → ∞ 1 n = 0

Então a nossa expressão fica:

l i m n → ∞   1 1 n + 1 n = l i m n → ∞ 1 0 + 0 = ∞

Pronto! Encontramos que o limite é infinito, então a sequência diverge, beleza galerinha?

Resposta

Sequência divergente

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