Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

{ 1/1, 1/3, 1/2, 1/4, 1/3, 1/5, 1/4, 1/6, ... }

Passo 1

Hey, galera! Como vocês estão?

Aqui não temos uma fórmula geral de a n pra tentar calcular o limite, então temos que observar o padrão dos primeiros termos.

Parece meio estranha a sequência, porque ela não é crescente nem decrescente, ela parece que aumenta e diminui, aumenta e diminui. Vamos usar um gráfico para ajudar na análise desse comportamento.

No final, vamos precisar encontrar o limite dessa sequência caso ela converja.

Passo 2

Vamos analisar o gráfico da nossa sequência. A nossa sequência parece ter “duas partes”, uma mais acima e uma mais embaixo, com termos alternadamente variando de uma para a outra. Vamos tentar separar essas nossas sequências usando os termos que nos foram dados:

Bom, a gente pode dividir essa sequência em duas subsequências, ao pegar termos alternados:

1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 ,   …           e           1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 ,   …

Agora, olha que interessante: a primeira sequência pode ser escrita como:

a n = 1 n

E a segunda:

b n = 1 n + 2

Passo 3

Vamos calcular o limite das duas séries para entendermos se há convergência:

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

Para a outra sequência:

lim n → ∞ ⁡ 1 n + 2 = 0

Já que com n → ∞ os denominadores se tornam muito grandes, fazendo o termo todo muito pequeno.

Como nossas duas subsequências convergem para 0 podemos dizer que nossa sequência 1 1 , 1 3 , 1 2 , 1 4 , 1 3 , 1 5 , 1 4 , 1 6 ,   … também converge para 0.

Resposta

Sequência convergente para 0.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados