Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a_n = n^3 / (n^3 + 1)

Passo 1

Fala Aí! Nessa questão queremos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge, certo?

Então bora lá! Para determinarmos se a sequência

a n = n 3 n 3 + 1

converge ou diverge, podemos calcular o limite da sequência quando n tende ao infinito.

Passo 2

Para calcular o limite da sequência quando n   se aproxima do infinito, usaremos a regra de L'Hôpital para limites indeterminados do tipo ∞ ∞ ​.

Assim, derivamos o numerador e o denominador:

l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   3 n 2 3 n 2

Agora podemos cancelar os termos comuns,

l i m n → ∞   3 3 = 1

Epa! Encontramos um número finito. Como o limite da sequência é um valor finito ( 1 ), podemos concluir que a sequência converge.

Então, a sequência a n = n 3 n 3 + 1   ​ converge para 1.

Resposta

A sequência a n = n 3 n 3 + 1   ​ é convergente e converge para 1.

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