Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a_n = (1 + 2/n)^n

Passo 1

E aê, pessoal! Vamos ver se essa sequencia converge ou diverge!

Pra isso, a gente precisa tentar achar o limite dela no infinito:

l i m n → ∞   a n

Se o resultado for um número, então a sequencia converge pra esse número. Se o resultado for infinito, então a sequencia diverge.

Vamos lá!

l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   1 + 2 n n

Mas antes de começar, essa expressão parece bastante com uma outra que tem um resultado bem conhecido:

l i m x → ∞ 1 + 1 x x = e

Será que a gente consegue fazer essa expressão aparecer na nossa???

Passo 2

Dentro do parênteses temos 1 + 2 n , e queríamos ter 1 + 1 x . Então vamos dizer que:

2 n = 1 x

Que é a mesma coisa que dizer que:

n = 2 x

Agora vamos fazer a substituição:

l i m n → ∞   1 + 2 n n = l i m 2 x → ∞ 1 + 1 x 2 x

Se 2 x → ∞ , então x → ∞ . Essa parte não muda, porque estamos falando de infinito. Podemos dizer, muito entre aspas, que “o dobro de infinito é infinito”.

l i m x → ∞ 1 + 1 x 2 x

Agora vamos tirar esse expoente 2 e colocar o limite pra dentro dele:

l i m x → ∞ 1 + 1 x 2 x = l i m x → ∞ 1 + 1 x x 2

Pronto, finalmente achamos o que queríamos. Essa expressão aí dentro dos colchetes é igualzinha a essa aqui, que vimos no passo 1:

l i m x → ∞ 1 + 1 x x = e

Então:

l i m x → ∞ 1 + 1 x 2 x = l i m x → ∞ 1 + 1 x x 2 = e 2

Uhuulll, finalmente!

l i m n → ∞   1 + 2 n n = e 2

E esse resultado é uma constante! Um número finito que vale aproximadamente

e 2 = 5.43656365692

Então a sequência vai convergir para e 2 .

Resposta

Sequência convergente

l i m n → ∞   a n = e 2

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