Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 35
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
E aê, pessoal! Vamos ver se essa sequencia converge ou diverge!
Pra isso, a gente precisa tentar achar o limite dela no infinito:
Se o resultado for um número, então a sequencia converge pra esse número. Se o resultado for infinito, então a sequencia diverge.
Vamos lá!
Mas antes de começar, essa expressão parece bastante com uma outra que tem um resultado bem conhecido:
Será que a gente consegue fazer essa expressão aparecer na nossa???
Passo 2
Dentro do parênteses temos , e queríamos ter . Então vamos dizer que:
Que é a mesma coisa que dizer que:
Agora vamos fazer a substituição:
Se , então . Essa parte não muda, porque estamos falando de infinito. Podemos dizer, muito entre aspas, que “o dobro de infinito é infinito”.
Agora vamos tirar esse expoente 2 e colocar o limite pra dentro dele:
Pronto, finalmente achamos o que queríamos. Essa expressão aí dentro dos colchetes é igualzinha a essa aqui, que vimos no passo 1:
Então:
Uhuulll, finalmente!
E esse resultado é uma constante! Um número finito que vale aproximadamente
Então a sequência vai convergir para .
Resposta
Sequência convergente