Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ - 1 n . e 1 n n 3

Passo 1

E aí, galera? De boa?

Nosso enunciado pele para classificarmos nossa série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n . e 1 n n 3

Em um dos termos descritos lá. Vamos definir cada um deles:

Se ∑ ∣ a n ∣ converge, então ∑ a n ​ é absolutamente convergente.

Ela é condicionalmente convergente se ∑ a n ​ converge, mas ∑ ∣ a n ∣ diverge, indicando que a convergência da série original depende da alternância de sinais dos termos.

Por fim, uma série é divergente se ∑ a n não converge.

Vamos começar tentando usar o Teste da Razão:

Calculamos o limite:

lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k = L      

Se:

  • L < 1 → a série ∑ a k é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).
  • L > 1 → a série ∑ a k é divergente (o mesmo para L = ∞ )
  • L = 1 → o teste é inconclusivo.

Vamos descomplicar?

Passo 2

Vamos usar o teste da razão. Temos:

a n = - 1 n . e 1 n n 3

Para a n + 1 precisamos substituir n por n + 1 :

a n = - 1 n + 1 . e 1 n + 1 ( n + 1 ) 3

Escrevendo no formato que pede o limite do Teste da Razão, vemos que o termo - 1 some, já que o modulo só considera valores positivos. Rearranjando os termos:

a n + 1 a n = - 1 . e 1 n + 1 n + 1 3 n 3 e 1 n = e 1 n + 1 - 1 n . n n + 1 3

Se n → ∞ , temos que o expoente tende a zero e, portanto, a exponencial tende a 1 . A fração também tende a 1 , portanto, L = 1 .

Temos que o teste da razão é inconclusivo.

Passo 3

Testando a convergência absoluta, ou seja, vendo se ∑ ∣ a n ∣ é convergente:

∑ n = 1 ∞ - 1 n . e 1 n n 3 =   ∑ n = 1 ∞ e 1 n n 3

Sabendo que se n ≥ 1 → e ≥ e 1 n . Portanto, vale que:

e n 3 ≥ e 1 n n 3 .

A série com o termo geral descrito na esquerda é convergente, já que é o produto de uma série convergente por uma constante. Logo, pelo Teste de Comparação, temos que a série é convergente.

Então, a série do enunciado é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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