Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.6 - Ex. 11

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

Passo 1

E aí, galera? De boa?

Nosso enunciado pele para classificarmos nossa série:

Em um dos termos descritos lá. Vamos definir cada um deles:

Se converge, então é absolutamente convergente.

Ela é condicionalmente convergente se converge, mas diverge, indicando que a convergência da série original depende da alternância de sinais dos termos.

Por fim, uma série é divergente se não converge.

Vamos começar tentando usar o Teste da Razão:

Calculamos o limite:

Se:

a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).
a série é divergente (o mesmo para )
o teste é inconclusivo.

Vamos descomplicar?

Passo 2

Vamos usar o teste da razão. Temos:

Para precisamos substituir por

Escrevendo no formato que pede o limite do Teste da Razão, vemos que o termo some, já que o modulo só considera valores positivos. Rearranjando os termos:

Se , temos que o expoente tende a zero e, portanto, a exponencial tende a . A fração também tende a , portanto, .

Temos que o teste da razão é inconclusivo.

Passo 3

Testando a convergência absoluta, ou seja, vendo se é convergente:

Sabendo que se . Portanto, vale que:

A série com o termo geral descrito na esquerda é convergente, já que é o produto de uma série convergente por uma constante. Logo, pelo Teste de Comparação, temos que a série é convergente.

Então, a série do enunciado é absolutamente convergente.