Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a_n = (-1)^n * n^3 / (n^3 + 2n^2 + 1)

Passo 1

Beleza, pessoal? Então aqui a gente quer saber se essa sequencia converge ou diverge.

Pra gente saber isso, a gente precisa tentar achar o limite dela com n indo pro infinito:

l i m n → ∞   a n

Se o resultado for um número finito, a sequencia converge. Se der infinito (positivo ou negativo), ela diverge.

Então vamos calcular esse limite aqui:

l i m n → ∞   - 1 n   n 3 n 3 + 2 n 2 + 1

Passo 2

Mas se a gente só substituir na variável, achamos uma indeterminação:

l i m n → ∞   - 1 n   n 3 n 3 + 2 n 2 + 1 = ∞ ∞

Enbtão precisaremos fazer alguma manipulação matemática. E pro limite no infinito, frequentemente temos que dividir pela maior potencia de n . E fazemos isso, porque assim anulamos vários termos e acabamos com a indeterminação.

Volta e lê de novo porque isso é importante! Kkkk

A maior potência é n 3 , então bora dividir tudo por n 3 :

l i m n → ∞   - 1 n n 3 n 3 n 3 n 3 + 2 n 2 n 3 + 1 n 3 = l i m n → ∞   - 1 n - 1 .   1 1 + 2 n + 1 n 3

Olha que beleza o que acontece agora! Esses termos são zero:

l i m n → ∞ 2 n = 0

l i m n → ∞ 1 n 3 = 0

Então nossa expressão fica assim:

l i m n → ∞   - 1 n - 1 .   1 1 + 2 n + 1 n 3 = l i m n → ∞   - 1 n - 1 1 + 0 + 0 = l i m n → ∞   - 1 n - 1

Agora vamos olhar com calma pra isso que a gente encontrou:

l i m n → ∞ - 1 n

Quanto vale -1 elevado a um número gigantesto????

Bem, sabemos que 1 elevado a um número gigantesco valeria 1, porque qualquer potência de 1 vale 1.

Mas no -1, o sinal muda de acordo com o expoente ser par ou ímpar. Não existe uma tendência pro infinito. Essa função vai oscilar de valores.

Então concluímos que O LIMITE NÃO EXISTE.

Não importa o quanto n cresça, sempre ainda vai assumir os valores - 1 e 1 . Então a nossa sequência diverge, tá beleza?

Resposta

Sequência divergente

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