Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 22
Determine se a série e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Estamos prestes a desvendar o mistério da convergência dessa série matemática!
Vamos começar com o Teste da Raiz, que é tipo uma investigação matemática para descobrir se essa série é boa ou má, ou seja, se a série converge ou diverge.
O Teste da Raiz é um dos detetives mais habilidosos que temos para investigar séries infinitas. Ele nos ajuda a entender como os termos da série crescem ou diminuem à medida que avançamos para infinito.
A ideia é pegar a raiz -ésima de cada termo da série e ver o que acontece quando o número de termos vai para o infinito:
- Se o resultado for menor que , a série converge;
- Se for maior que , a série diverge;
- E se for igual a , o teste não nos dá uma resposta definitiva.
Hoje vamos dar uma olhada nessa série que veio direto do mundo das exponenciais:
Passo 2
Então, vamos escolher um espião chamado , ele vai nos ajudar a entender cada termo da série. Seja .
Agora, vamos desvendar o limite de . Isso basicamente significa: O que acontece quando a gente pega a raiz -ésima do termo? Fica comigo!
Temos que:
Então:
Agora, multiplicando os termos do numerador e denominador por , ficaremos com:
Sabemos que quando , tende a zero. Logo:
Show! O limite é .
E como , pelo Teste da Raiz, a série é divergente.
Resposta
A série é divergente.