Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 11
Determine se a série e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Passo 1
Vamos lá galera! Precisamos qual a situação da seguinte série:
Em um momento inicial, meu amigo, você pede ficar tentado a fazer o teste de séries alternadas. Mas perceba que o exercício quer saber também se ela é absolutamente convergente, e o teste de séries alternadas não nos ajuda em nada nisso.Minha próxima dica é observar que existe um elemento com potência de . Isso geralmente indica que o teste da razão é uma boa opção (Veremos que nem sempre).
Se nada der certo, podemos pensar em alguma série que é parecida o suficiente com a série do exercício e que seja fácil saber sua convergência, de forma a utilizar o teste da comparação.Vamos em frente então amigos?
Passo 2
Vamos tentar primeiro o teste da razão:
E o que é o teste da razão?!é um teste que diz o seguinte sobre as séries:
Uma série qualquer, chamada de , será convergente se:
Será divergente se:
Caso
Então o teste não é conclusivo.
Vamos usar o teste da razão:
Colocando
E
Escrevendo,
Portanto, .
Temos que o teste da razão é inconclusivo.
Nesses casos meu jovem, temos que resolver de outra forma:
Passo 3
Como estamos testando a convergência absoluta a seguinte igualdade é verdadeira:
Agora, podemos pensar em uma série muito parecida com essa e que podemos calcular a convergência?Ora, utilize a dica de ver os termos com maior potência no numerador e no denominador e teremos:
Ao analisarmos essa série, percebemos que é uma constante multiplicada por um p-série com expoente . E sabemos que todas a p-séries, que são do tipo:
E que possuem são convergentes.
Então podemos fazer a seguinte comparação:
Como nós sabemos que começa em e segue até infinito. Podemos afirmar que:
Então:
Portanto, vale que:
Logo, pelo Teste de Comparação, temos que a série é convergente.
Então, a série do enunciado é absolutamente convergente.
Resposta
A série é absolutamente convergente.