Enunciado

  1. Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:
  2. Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.

x = senh ⁡ t

y = cosh ⁡ t

Passo 1

Olá, meu amigo. Temos aqui 2 trabalhos a fazer.

Deveremos retirar a parametrização da nossa curva:

x = senh ⁡ t

y = cosh ⁡ t

Isso é, deveremos colocar a equação em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos utilizar da identidade trigonométrica:

cosh 2 ⁡ θ - senh 2 ⁡ θ = 1

Para o gráfico, vamos fazer o seguinte, vamos criar uma tabela com valores de t ,     x ,     y e plotar esses pontos num gráfico. Assim a gente tem o esboço do mesmo e a direção da curva quando o parâmetro cresce.

Passo 2

  1. Para “isolar” o parâmetro no caso em que temos seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, usamos a relação fundamental da trigonometria:
  2. cosh 2 ⁡ θ - senh 2 ⁡ θ = 1

    Assim

    y 2 - x 2 = 1

    Que é a equação de uma hipérbole, “olhando” para o eixo x , que é a variável que tá com sinal negativo.

    Além disso, como

    cosh ⁡ t ≥ 1

    Sempre, para qualquer valor de t , e

    y = cosh ⁡ t

    Então

    y ≥ 1

    Assim, estamos falando do ramo da hipérbole que está na parte positiva do eixo y , com vértice no ponto ( 0,1 ) .

    Passo 3

  3. Criando nossa tabela com os valores de t   ; x   ; y :

Traçando nossa curva, temos

Para o comportamento do gráfico, basta que a gente veja a tabela, à medida que t cresce a gente tem que x também cresce.

Resposta

a )

y 2 - x 2 = 1

b )

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Esboce a curva com a equação dada.r^2 theta = 1
Esboce a curva com a equação dada.r = 1 + 2 cos ((theta)/(2))
Esboce a curva com a equação dada.r = 2 cos ((3 theta)/(2))
Esboce a curva com a equação dada.r = 1 + 2 cos 2 theta
Esboce a curva x 2 + y 2 3 = 4 x 2 y 2