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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.6 - Ex. 46

Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ - 1 n cos sech ⁡ n  

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Seja o termo geral da sequência dado por:

a n = - 1 n cos sech ⁡ n  

A cossecante hiperbólica pode ser representada também pela sua expressão analítica:

a n = - 1 n 2 e n - e - n  

E o seu termo consecutivo,

a n + 1 = - 1 n + 1 2 e n + 1 - e - n - 1  

Vamos aplicar o teste da razão para verificar a sua convergência, calculando o limite, definido por:

lim n →  ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n →  ∞ ⁡ - 1 n + 1 2 e n + 1 - e - n - 1 - 1 n 2 e n - e - n =   lim n →  ∞ ⁡ - 2 e n + 1 - e - n - 1 2 e n - e - n =    

Simplificando os termos comuns, temos:

lim n →  ∞ ⁡ - e n - e - n e n + 1 - e - n - 1 =     lim n →  ∞ ⁡ e n - e - n e n + 1 - e - n - 1 = lim n →  ∞ ⁡ 1 - 1 e 2 n     e - 1 e 2 n + 1 = 1 e    

De acordo com o teste da razão, se o limite é menor que 1 a série converge.

Sendo assim, a série converge absolutamente.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Condicionalmente convergente.

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Determinar se a série converge ou diverge, e se convergir achar a soma: ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 2 n
Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?c) ∑ n = 1 ∞ - 3 n - 1 n
Nos Exercícios 9-16, utilize o teste da raiz para determinar se cada uma das séries converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ 8 3 + 1 n 2 n
Nos Exercícios 9-16, utilize o teste da raiz para determinar se cada uma das séries converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ 1 - 1 n n ² ²Sugestão: lim n → ∞ ⁡ 1 + x n n = e x