Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 2 ∞ n ln ⁡ n n

Passo 1

Fala Pessoal. Tudo certo?O exercício nos pede para dizer se essa série converge absolutamente, condicionalmente ou não converge. Temos então que escolher um teste apropriado. A melhor recomendação é observarmos que existe um elemento em potência de n , além disso, o outro elemento é n . O que significa que o teste da raiz é uma boa opção.

Vamos recordar do teste da raiz?

O testa da raiz diz que se:

lim n → ∞ ⁡ a n n = L < 1

Então a série ∑ a n é absolutamente convergente, mas se L > 1 , a série diverge.

Se L = 1   . Então o teste é inconclusivo.Agora que ficou claro. Vamos iniciar?

Passo 2

Bora tentar?

Se:

a n =   n ln ⁡ n n

Então:

L = lim n → ∞ ⁡ | a n | n = lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n n n

lim n → ∞ ⁡ n n ln ⁡ n = lim n → ∞ ⁡   n 1 n ln ⁡ n

Perceba que fazendo:

∞ 1 ∞ ln ⁡ ∞

Caímos em uma indeterminação.

Parece um limite difícil de resolver né?

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para ficar mais fácil essa solução?

Iremos chamar

y = x 1 x

Com x → ∞ .

Vamos fazer então: ln ⁡ y = ln ⁡ x 1 x

Que é o mesmo que:

ln ⁡ y = 1 x ln ⁡ x

Calculando o limite teremos:

lim n → ∞ ⁡   ln ⁡ y =   lim n → ∞ ⁡   ln ⁡ x x

Aplicando L'Hopital:

lim n → ∞ ⁡ 1 x = 0

Resposta

Série absolutamente convergente

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