Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 11.6 - Ex. 24

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Fala Pessoal. Tudo certo?O exercício nos pede para dizer se essa série converge absolutamente, condicionalmente ou não converge. Temos então que escolher um teste apropriado. A melhor recomendação é observarmos que existe um elemento em potência de , além disso, o outro elemento é . O que significa que o teste da raiz é uma boa opção.

Vamos recordar do teste da raiz?

O testa da raiz diz que se:

Então a série é absolutamente convergente, mas se , a série diverge.

Se . Então o teste é inconclusivo.Agora que ficou claro. Vamos iniciar?

Passo 2

Bora tentar?

Se:

Então:

Perceba que fazendo:

Caímos em uma indeterminação.

Parece um limite difícil de resolver né?

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para ficar mais fácil essa solução?

Iremos chamar

Com .

Vamos fazer então:

Que é o mesmo que:

Calculando o limite teremos:

Aplicando L'Hopital:

Resposta

Série absolutamente convergente

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Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?c) ∑ n = 1 ∞ - 3 n n

Determine se a série 1 - 1 ⋅ 3 3 ! + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 5 ! -1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 7 ! + … + - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n - 1 ! + … é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Determine se a série ∑ n = 1 ∞ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n n ! é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?d) ∑ n = 1 ∞ n 1 + n 2

Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?b) ∑ n = 1 ∞ n 2 n