Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 35c
Para quais das seguintes séries o Teste da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá uma resposta definida)?
c)
Passo 1
Fala aí, galera! Esta questão nos pede para verficar se o Teste da Razão é conclusivo ou não para a série dada. O Teste da Razão nos diz que:
- Se , então a série é absolutamente convergente e, portante, converge.
- Se ou se , então a série dada é divergente.
- Se , nós não conseguimos afirmar por este teste se a série é convergente ou não.
Assim, para resolvermos o problema, precisamos determinar as expressões para o n-ésimo e (n+1)-ésimo termo da série, escrever a divisão e, então, tirar o módulo dessa razão. Feito isso, nós calculamos o limite desse módulo quando n tende ao infinito e verficamos se o resultado é menor que, maior que, igual a 1 ou tende ao infinito.
Passo 2
O termo an já nos foi dado. Ele acompanha o símbolo de somatório. Logo,
O termo an+1, por sua vez, pode ser obtido substituindo n por n + 1 na equação acima. Assim, temos que:
Dessa forma, temos que:
Veja que a razão é negativa, pois a raiz quadrada que aparece nela é sempre positiva e essa raiz está sendo multiplicada por –3, que é um inteiro negativo. Logo, para determinarmos o valor absoluto de , nós teremos que inverter o seu sinal. Assim:
Passo 3
Então, galera, nós calculamos a razão . Agora, nós precisamos calcular seu limite quando n tende ao infinito:
Veja que, quando n cresce muito, o valor de 1/n se torna cada vez mais próximo de zero. Assim, o numerador dentro da raiz da razão se aproxima cada vez mais de 1. Dessa forma, a raiz quadrada se aproxima de 1 e o limite acima tende a . Logo,
Como o limite é maior que 1, o Teste da Razão é conclusivo para este caso e podemos garantir que a série diverge.
Resposta
O Teste da Razão é conclusivo para esta questão, pois:
Portanto, a série é divergente.