Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.6 - Ex. 8
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Oi, galera! Tudo em cima?
Nossa questão quer saber se a série dada no enunciado é absolutamente ou condicionalmente convergente, ou se é divergente. Vamos recapitular esses conceitos:
Se converge, então é absolutamente convergente.
Ela é condicionalmente convergente se converge, mas diverge, indicando que a convergência da série original depende da alternância de sinais dos termos.
Por fim, uma série é divergente se não converge.
Durante nossa resolução, já te adianto que vamos usar dois testes dos que vimos até agora e vou recapitular aqui com vocês já nesse passo:
- Teste do Limite da Comparação de Limite: supondo e séries com termos positivos. Se:
- Teste da Série alternada:
E , ambas as séries convergem ou ambas divergem.
.
Se a série alternada:
Onde , atender às nossas duas condições:
- para todo (ou seja, é decrescente).
Então a série é convergente.
Vamos para a resposta!
Passo 2
Vamos começar analisando se a série é absolutamente convergente analisando a série sem o sinal de alternância, ou seja:
O termo nos traz alguns valores negativos e quando aplicamos o módulo, podemos sumir com esse termo, já que o módulo só vai retornar valores positivos:
Procurando uma série que seja “parecida” com nossa série acima, mas que sabemos o comportamento, encontramos:
Que é uma série-p do tipo com , ou seja, é divergente.
Agora, recapitulando do Teste da Comparação que deixei no passo 1 para nós, temos:
E:
Passo 3
Agora é só calcular o limite:
Para resolver a divisão de frações dentro do limite, multiplicamos a fração “de cima” pelo inverso da fração “debaixo”:
Agora basta dividirmos o numerador e o denominador por para simplificação do cálculo do limite:
Como e diverge, também diverge. Então temos que: não converge, então a série não é absolutamente convergente.
Passo 4
Bom, vimos que diverge, então a série não será absolutamente convergente, mas ela ainda pode ser condicionalmente convergente se convergir. Como temos uma série alternada, cujo sinal vai oscilar entre positivos e negativos, vamos usar o Teste da Série Alternada para ver se a série é condicionalmente convergente.
Vamos começar fazendo o teste da série alternada para vermos se ela converge ou não. Começando pela condição (ii) que trouxemos no passo 1:
Fazendo o limite temos:
Dividindo o numerador e o denominador por temos:
Condição (ii) satisfeita.
Passo 5
Agora verificando se ela é decrescente vamos simplesmente fazer a derivada dessa sequência no domínio de :
Simplificando:
Dessa forma a série decrescente quando:
Como a série começa de até infinito, logo podemos dizer que a série é toda decrescente.
Condição (i) também satisfeita.
Como a série passou nos dois testes podemos dizer então que a série é condicionalmente convergente.
Resposta
Série condicionalmente convergente.