30- Uma série ∑ a n é definida pelas equações

a 1 = 1                           a n + 1 = 2 + cos ⁡ n n a n

Determine se ∑ a n converge ou diverge.

Passo 1

Vamos precisar da razão a n + 1 a n para aplicarmos o teste da razão da sequência dada e para isso vamos utilizar a segunda expressão onde simplesmente vamos passar a n para o outro lado ficando então da seguinte maneira:

a n + 1 a n = 2 + cos ⁡ n n

Vamos utilizar essa parcela para fazer a seguinte conta do teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Lembrando que se L for maior que 1 a série é divergente e se L for menor que 1 a série é absolutamente convergente.

Passo 2

Aplicando o teste da razão temos:

lim n → ∞ ⁡ 2 + cos ⁡ n n

Como a função cosseno fica variando entre -1 e 1 e n cresce sem parar logo podemos dizer que:

lim n → ∞ ⁡ 2 + cos ⁡ n n = 2 ± 1 ∞ = 0

Por ter dado L = 0 e 0 < 1   então podemos dizer que a série é absolutamente convergente.

Resposta

Absolutamente convergente.

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