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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 3

Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.

r → u , v = u + v i → + 3 - v j → + 1 + 4 u + 5 v k →

Passo 1

Olá, terráqueos, tudo bem?

Precisamos identificar que superfície está sendo representada por essa equação paramétrica aqui:

r → u , v = u + v i → + 3 - v j → + 1 + 4 u + 5 v k →

Para identificar qual superfície essa equação paramétrica representa, vamos determinar suas coordenadas cartesianas.

Dessa forma:

x = u + v y = 3 - v z = 1 + 4 u + 5 v

Passo 2

Com as coordenadas acima, vamos fazer a festa acontecer!

Na segunda equação isolamos o valor de v :

v = - y + 3

Substituindo na primeira equação, teremos:

x = u + ( - y + 3 )

Agora temos o valor de u :

u = x + y - 3

Agora podemos substituir as expressões de u e v na terceira expressão e ficar apenas com uma equação com x , y , z :

z = 1 + 4 u + 5 v

z = 1 + 4 x + y - 3 + 5 ( - y + 3 )

Organizando, teremos

z = 1 + 4 x + 4 y - 12 - 5 y + 15

Manipulando mais um pouquinho, chegaremos a

z = 4 x - y + 4

4 x - y - z + 4 = 0

Passo 3

Essa é a equação que obtemos:

4 x - y - z + 4 = 0

E o que se parece? Se você pensou em um plano está certo!

A equação do plano é essa daqui, ó:

a x + b y + c z + d = 0

Onde na nossa equação descoberta temos:

a = 4 ,     b = - 1 ,     c = - 1 ,     d = 4

Então a nossa superfície é um plano!

Resposta

p l a n o :   4 x - y - z + 4 = 0

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Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre essa impressão quais são as curvas da grade que têm u constante e quais têm v constante. r u ,
Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre essa impressão quais são as curvas de grade que têm u constante e quais têm v constante. r u ,
Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre essa impressão quais são as curvas de grade que têm u constante e quais têm v constante. x = s
Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada. r u , v = u , s e n ( u + v ) , s e nv , - π ≤ u ≤ π ,- π ≤ v ≤ π
Nos exercícios 21 a 45, escrever uma representação paramétrica para a superfície dada.43) Parte do plano x + y + z = 4 , que está no primeiro octante.