Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 44
Um modelo para a densidade da atmosfera terrestre próxima à superfície é
onde (a distância do centro da Terra) é medido em metros e é medido em quilogramos por metro cúbico. Se tomarmos a superfície da Terra como uma esfera com raio de , então, este modelo é razoável para . Use este modelo para estimar a massa da atmosfera entre o solo e uma altitude de .
Passo 1
Falaa, galera!
O problema fornece um modelo para como a densidade da atmosfera varia com a distância até o centro da Terra:
Queremos calcular a massa da atmosfera entre o solo e uma altitude de . Para isso, temos que calcular a massa na região . Isso é a mesma coisa que:
Esse transforma a unidade de para :
Dada a função densidade de um sólido , calculamos a massa assim:
Então vamos ter que calcular essa integral!
Pra isso, como o sólido é uma esfera, vamos usar coordenadas esféricas!
Nossas variáveis vão ser e o jacobiano
O que está na função densidade já é o mesmo das coordenadas esféricas, porque é a distância até o centro da esfera (que vai coincidir com a origem).
E vamos às contas!
Passo 2
Os limites de já são dados! Nós queremos integrar desde a superfície () até de altitude ().
Já em função de e , não existe nenhuma restrição, já que estamos integrando em volta de toda a superfície da Terra:
Por simplicidade, vamos escrever:
onde
A integral que vamos calcular é:
Em coordenadas polares:
Agora vamos usar uma propriedade de integrais múltiplas, quando temos:
Ou seja, quando temos um integrando que conseguimos separar em um produto de funções de uma variável, podemos separar nossa integral tripla em três integrais simples.
No nosso caso, fica assim:
Como o integrando não tem nenhum termo que depende de , , e:
Passo 3
Calculando a primeira integral:
Já a segunda:
Como e :
Por fim, a terceira é
Vamos colocar e em evidência:
Então:
Passo 4
Agora nós substituímos , , e :
Fazendo as contas (pode usar uma calculadora agora hahah):