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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 27

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) (1 + (1)/(n))^2 e^(- n)

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida b_n e outra não a_n e então calculamos o seguinte limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou divergem.

Passo 2

Neste caso a série que queremos comparar é a de termo

a_n = (1 + (1)/(n))^2 e^(- n)

Para decidirmos a série para comparação, vamos manipular este termo, primeiro fazendo MMC dentro do parênteses

= ((n + 1)/(n))^2 e^(- n) = ((n + 1)^2)/(n^2 e^n)

Para comparar usaremos uma série similar a série que estamos analisando, com um polinômio de segundo grau no numerador e um polinômio de segundo grau no denominador multiplicando e^n

b_n = (n^2)/(n^2 e^n) = (1)/(e^n)

Passo 3

Vamos calcular o limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) (((n + 1)^2)/(n^2 e^n))/((1)/(e^n))

Fazendo a divisão de frações

= underset(n -> oo)(lim) ((n + 1)^2)/(n^2 e^n) * e^n = underset(n -> oo)(lim) ((n + 1)^2)/(n^2)

Colocando n em evidencia no parêntese

= underset(n -> oo)(lim) ((n (1 + (1)/(n)))^2)/(n^2) = underset(n -> oo)(lim) (n^2 (1 + (1)/(n))^2)/(n^2) = underset(n -> oo)(lim) (1 + (1)/(n))^2 = 1

Como 1 > 0 e a série

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(e^n)

É uma série geométrica com r < 1 convergente, temos que

sum_(n = 1)^(oo) (1 + (1)/(n))^2 e^(- n)

Também converge.

Resposta

Converge.

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