Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n 2 e - n

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida b n e outra não a n e então calculamos o seguinte limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou divergem.

Passo 2

Neste caso a série que queremos comparar é a de termo

a n = 1 + 1 n 2 e - n

Para decidirmos a série para comparação, vamos manipular este termo, primeiro fazendo MMC dentro do parênteses

= n + 1 n 2 e - n = n + 1 2 n 2 e n

Para comparar usaremos uma série similar a série que estamos analisando, com um polinômio de segundo grau no numerador e um polinômio de segundo grau no denominador multiplicando e n

b n = n 2 n 2 e n = 1 e n

Passo 3

Vamos calcular o limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n 2 e n 1 e n

Fazendo a divisão de frações

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n 2 e n ⋅ e n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n 2

Colocando n em evidencia no parêntese

= lim n → ∞ ⁡ n 1 + 1 n 2 n 2 = lim n → ∞ ⁡ n 2 1 + 1 n 2 n 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 2 = 1

Como 1 > 0 e a série

∑ n = 1 ∞ 1 e n

É uma série geométrica com r < 1 convergente, temos que

∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n 2 e - n

Também converge.

Resposta

Converge.

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