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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 41

Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.

∑ n = 1 ∞ 1 e n + 1 n n + 1

Passo 1

E aí, amigos? Tudo numa boa?

Nossa questão quer saber se a série:

∑ n = 1 ∞ 1 e n + 1 n n + 1

Diverge ou converge. Bom, como é temos dois termos somando dentro da mesma série, pelas propriedades das séries, podemos separar essa série em duas séries:

∑ n = 1 ∞ 1 e n + 1 n n + 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 e n + ∑ n = 1 ∞ 1 n n + 1

Agora ficou muito mais fácil perceber que temos a soma de duas séries que conhecemos: a primeira série trata-se da série geométrica e a segunda de uma série telescópica.

Relembrando sobre esses dois tipos de série:

Séries geométricas tem uma carinha assim:

∑ n = 0 ∞ a r n

Esse tipo de série converge se r < 1 . Esse r é nossa razão, que é o valor fixo pelo qual cada termo é multiplicado para chegar no próximo termo.

Caso nossa série convirja, para achar a soma de uma série geométrica usamos:

s n = a 1 - r

Onde a é o primeiro termo da série e r e a razão da série.

Já a série telescópica é uma soma em que os termos se cancelam em pares, ou seja, de dois em dois. Fazemos vários cancelamentos que no fim nos restam apenas dois termos. Já dá para notar que simplifica bastante nossa soma s n , né? Para essa série calcularemos o limite e se ele existir, nossa série converge.

Dá uma olhada no passo a passo!

Passo 2

Para a primeira série:

∑ n = 1 ∞ 1 e n

As séries geométricas são no formato:

∑ n = 0 ∞ a r n

Como 1 n = 1 para qualquer valor de n , podemos reescrever:

∑ n = 1 ∞ 1 n   e n = ∑ n = 1 ∞ 1 e n

Comparando esse formato e o formato de série geométrica ali no começo desse passo 2 fica bem mais fácil de enxergarmos que a = 1 e r = 1 e .

Agora a série geométrica nós sabemos o valor, como r = 1 e < 1 , ela converge, então podemos calcular sua soma:

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

Na nossa série:

∑ n = 1 ∞ 1 e n = 1 1 - 1 e - 1

Fazendo as subtrações de fração:

∑ n = 1 ∞ 1 e n = e e - 1 - e - 1 e - 1 = 1 e - 1

Passo 3

Para a segunda série:

∑ n = 1 ∞ 1 n n + 1

Vimos no Exemplo 8 deste livro que ela é uma série telescópica e que sua soma se resume em:

s n = ∑ k = 1 n 1 k k + 1 = 1 - 1 n + 1

Calculando o limite da soma, vemos que esse limite existe, portanto, a série é convergente.

l i m n → ∞ s n = lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n + 1 = 1

Portanto temos que:

∑ n = 1 ∞ 1 n n + 1 = 1

Passo 4

Voltando para a série principal:

∑ n = 1 ∞ 1 e n + 1 n n + 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 e n + ∑ n = 1 ∞ 1 n n + 1

Como temos a soma de duas séries convergentes, a soma das séries também converge.

Agora nós sabemos os valores das duas séries da esquerda, substituindo teremos o valor da soma total:

∑ n = 1 ∞ 1 e n + 1 n n + 1 = 1 e - 1 + 1 = 1 e - 1 + e - 1 e - 1

Fazendo a soma de frações, teremos por fim:

∑ n = 1 ∞ 1 e n + 1 n n + 1 = e e - 1

Resposta

A série converge e sua soma é:

∑ n = 1 ∞ 1 e n + 1 n n + 1 = e e - 1

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