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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.4 - Ex. 28

Determine se a série converge ou diverge.

28-

sum_(n = 1)^(oo) (2 n^2 + 7 n)/(3^n ( n^2 + 5 n - 1 ))

Passo 1

Essa aqui é uma daquelas que podemos chamar de BRABA!

Essa questão é para você segurar na mão do teste de comparação por limite e confiar. Vamos dizer que essa sério é primo do quinto grau de :

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(3^n)

Que é uma série geométrica de razão igual a 1 // 3 . O motivo de ignorarmos todo o resto é justamente por que o numerador e o denominador tem a mesma ordem (potência igual a 2 nesse caso). Então no infinito elas não influenciarão muito na convergência. Pelo menos esse será nosso palpite.

Passo 2

Dando nome a nossas funções para aplicar no teste nós teremos:

a_n = (2 n^2 + 7 n)/(3^n ( n^2 + 5 n - 1 ))

b_n = (1)/(3^n)

Logo:

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) ((2 n^2 + 7 n)/(3^n (n^2 + 5 n - 1)) xx 3^n) = underset(n -> oo)(lim) ((2 n^2 + 7 n)/((n^2 + 5 n - 1)))

Dividindo numerador e denominador por n^2 temos:

underset(n -> oo)(lim) ((2 + (7)/(n))/(1 + (5)/(n) - 1 // n^2)) = 2

Como deu um resultado maior que zero logo nós podemos dizer que as duas séries convergirão.

Resposta

Série convergente.

Bora pra próxima que já tá no final da bateria de exercícios.

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