Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

1 + 1 8 + 1 27 + 1 64 + 1 125 + …

Passo 1

Fala, meus amigos! Tudo tranquilo?

Vamos entender o que precisamos fazer:

Note primeiro que temos os termos da soma, mas não temos seu termo geral ∑ n = 1 ∞ a n , então nosso primeiro passo é tentar chegar nesse termo.

Bom, no geral para determinar a convergência ou divergência de uma série poderíamos usar o Teste da Integral. Porém, nesse caso, o que temos é uma série do tipo p-série.

∑ n = 1 ∞ 1 n p

A vantagem disso é que para a p-série (ou série-p), basta analisarmos o valor de p para entender se há convergência ou divergência. Viu como fica muuuuuito mais fácil que calcular integrais? Vamos lá, então!

Para a série-p, temos:

  • É convergente se p > 1
  • É divergente se p ≤ 1

Passo 2

Show de bola, galera. Vamos achar nosso termo geral da série:

Reescrevendo nossa soma do enunciado, temos:

1 + 1 8 + 1 27 + 1 64 + 1 125 + … = 1 1 3 + 1 2 3 + 1 3 3 + 1 4 3 + 1 5 3 + …

Qual padrão notamos aqui? O de que cada numerador é o valor de n elevado ao cubo. Então nosso termo geral é:

1 1 3 + 1 2 3 + 1 3 3 + 1 4 3 + 1 5 3 + … = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3

Passo 3

Para finalizar, já vimos que nossa série é:

∑ n = 1 ∞ 1 n 3

Estamos diante de uma p-série, certo?

Então, como a nossa p-série tem um valor de p = 3 > 1 , chegamos à conclusão de que a nossa série é convergente!

Resposta

1 + 1 8 + 1 27 + 1 64 + 1 125 + …   é convergente

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