Enunciado

Mostre que a soma das interseções x , y e z de qualquer plano tangente à superfície x + y + z = c é uma constante.

Passo 1

O problema fornece a equação de uma superfície x + y + z = c e pede para provarmos que a soma das interseções de qualquer plano tangente a essa superfície com os eixos coordenados é uma constante.

Para isso, o primeiro passo é achar a equação do plano tangente em algum ponto genérico ( a ,   b ,   d ) .

Para achar o plano tangente, vamos olhar para a superfície como sendo a superfície de nível 0 da seguinte função função de três variáveis:

f x , y , z = x + y + z - c

Veja que essa superfície de nível 0, ou seja, f x , y , z = 0 , é a superfície

x + y + z = c  

que nos foi dada pela questão.

Isso é muito útil, pois o gradiente é perpendicular às superfícies de nível, então ele será o vetor normal do plano tangente.

Uma vez obtido o vetor gradiente em um certo ponto a , b , d da superfície, podemos obter a equação do plano tangente a ela, que será dada por

∂ f ∂ x a , b , d ⋅ x - a + ∂ f ∂ y a , b , d ⋅ y - b + ∂ f ∂ z a , b , d ⋅ z - d = 0

Desse modo, nosso trabalho é obter o vetor gradiente nesse ponto e substituir nessa equação para determinar o plano tangente. A partir daí nós calcularemos a interseção desse plano com os eixos cartesianos e mostraremos que a soma das coordenadas é uma constante.

Vamos ver como isso se desenrola? Vem comigo!

Passo 2

O gradiente de uma função f ( x , y , z ) é dado por

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Lembrando que f x , y , z = x + y + z - c , teremos

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x + y + z - c

∂ f ∂ x = 1 2 x

Da mesma forma,

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x + y + z - c

∂ f ∂ y = 1 2 y

E

∂ f ∂ z = ∂ ∂ z x + y + z - c

∂ f ∂ z = 1 2 z

Portanto,

∇ f x , y , z = 1 2 x ,   1 2 y ,   1 2 z

No ponto ( a ,   b ,   d ) temos

∇ f a , b , d = 1 2 a ,   1 2 b ,   1 2 d

Passo 3

A equação do plano tangente no ponto ( a , b , d ) é

∂ f ∂ x a , b , d ⋅ x - a + ∂ f ∂ y a , b , d ⋅ y - b + ∂ f ∂ z a , b , d ⋅ z - d = 0

Desse modo,

x - a a + y - b b + z - d d = 0

Essa é a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto a , b , d .

Passo 4

Agora vamos procurar as interseções desse plano com os eixos.

Fazendo y = z = 0   na equação do plano tangente, encontramos a interseção dele com o eixo x :

x - a a - b b - d d = 0 ⇒ x - a a = b + d

Logo,

x = a a + b + d

Analogamente, se queremos a interseção com o eixo y , devemos fazer x = z = 0 . Fazendo as continhas nós encontramos

y = b a + b + d

Se queremos a interseção com o eixo z , devemos fazer y = x = 0 . Aí encontramos:

z = d a + b + d

Passo 5

Somando as três interseções:

x + y + z = a a + b + d + b a + b + d + d a + b + d

Assim,

x + y + z = a + b + d a + b + d = a + b + d 2

Como o ponto ( a ,   b ,   d ) deve satisfazer a equação da superfície:

a + b + d = c

Portanto,

x + y + z = c 2 = c

Desta forma, para qualquer ponto ( a ,   b ,   d ) , a soma das interseções com os eixos será sempre igual a c , que é uma constante!

Resposta

Demonstração.

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Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo f x , y = x ² y ³ -y 4 , 2 ,1 ,θ = π / 4 ² ³
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Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo θ . f x , y = x sin ⁡ x y 2,0 θ = π 3
Calcule a derivada direcional de f x , y = 2 x 2 + y 2 No ponto (-1,1) e na direção 2i → + 3j → .
Uma função diferenciável f x , y tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a 3 na direção 3i → + 4j → e igual a -1 na direção 4i → - 3j → . Calcule: ∇ f → ( 1,1 ) ∂ f ∂ u → ( 1,1 ) onde u → é o v