Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 61
Mostre que a soma das interseções , e de qualquer plano tangente à superfície é uma constante.
Passo 1
O problema fornece a equação de uma superfície e pede para provarmos que a soma das interseções de qualquer plano tangente a essa superfície com os eixos coordenados é uma constante.
Para isso, o primeiro passo é achar a equação do plano tangente em algum ponto genérico .
Para achar o plano tangente, vamos olhar para a superfície como sendo a superfície de nível da seguinte função função de três variáveis:
Veja que essa superfície de nível 0, ou seja, , é a superfície
que nos foi dada pela questão.
Isso é muito útil, pois o gradiente é perpendicular às superfícies de nível, então ele será o vetor normal do plano tangente.
Uma vez obtido o vetor gradiente em um certo ponto da superfície, podemos obter a equação do plano tangente a ela, que será dada por
Desse modo, nosso trabalho é obter o vetor gradiente nesse ponto e substituir nessa equação para determinar o plano tangente. A partir daí nós calcularemos a interseção desse plano com os eixos cartesianos e mostraremos que a soma das coordenadas é uma constante.
Vamos ver como isso se desenrola? Vem comigo!
Passo 2
O gradiente de uma função é dado por
Lembrando que , teremos
Da mesma forma,
E
Portanto,
No ponto temos
Passo 3
A equação do plano tangente no ponto é
Desse modo,
Essa é a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto
Passo 4
Agora vamos procurar as interseções desse plano com os eixos.
Fazendo na equação do plano tangente, encontramos a interseção dele com o eixo :
Logo,
Analogamente, se queremos a interseção com o eixo , devemos fazer . Fazendo as continhas nós encontramos
Se queremos a interseção com o eixo , devemos fazer . Aí encontramos:
Passo 5
Somando as três interseções:
Assim,
Como o ponto deve satisfazer a equação da superfície:
Portanto,
Desta forma, para qualquer ponto , a soma das interseções com os eixos será sempre igual a , que é uma constante!
Resposta
Demonstração.