Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.3 - Ex. 13
Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Show de bola, galera...Estamos diante de uma série e pra analisar sua convergência precisamos primeiro ver características dessa série.
Repara que os termos do denominador serão sempre números ímpares, a começar pelo número . E tem um jeito de representar uma sequência de números ímpares que já é até um tanto conhecido:
Um teste que podemos usar aqui é o teste da integral. Basicamente a gente tem que calcular a integral do termo geral da sequência. O termo geral é:
Temos que associá-lo a uma função de
Se essa função for contínua, positiva e decrescente, podemos usar o teste da integral. Nesse caso, como estamos trabalhando apenas com valores a partir de zero:
- ela vai ser contínua, porque o denominador nunca vai zerar
- ela vai ser positiva porque é sempre positivo
- ela vai ser decrescente, porque conforme cresce, o denominador cresce e a fração decresce.
Então já que o teste se aplica, é só calcular a integral de 0 ao infinito:
Se essa integral convergir, a sequência converge. Se ela divergir, a sequência diverge.
Passo 2
Essa integral, no entanto, é imprópria, pois o limite superior é infinito. Então temos que reescrevê-la assim:
Consideramos um limite superior finito e depois calculamos o resultado com esse valor tendendo ao infinito.
Passo 3
Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:
Vamos fazer uma substituição de variáveis:
Então:
E essa integral é bem conhecida:
Retornando à variável original:
Agora que integramos temos que calcular o limite:
Passo 4
O logaritmo natural tende ao infinito pra valores muito altos do domínio:
Essa integral divergiu, portanto, pelo Teste da Integral, a nossa série é divergente!