Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.7 - Ex. 5
Teste a convergência ou divergência da série.
Passo 1
Tudo beleza, galera? Respira, não pira.
A questão nos deu essa série apocalíptica
e quer saber se ela é convergente ou divergente, pelo método mais útil.
Sériezinha meio feia, né? Vamos dar uma ajustada nela?
Isolando para ficar mais parecido com a série de potência:
Ou melhor,
Epa, epa. Estamos vendo aquele , né? Então só pode ser uma série alternada!
Ela tem essa cara aqui:
E quem é esse nosso na série que nos deram?
Fácil:
Então vamos resolver pelo Teste da Série Alternada, que precisa seguir dois critérios para ser convergente:
Passo 2
Vamos fazer a primeira condição:
Quem é quem aí nessa história?
Assim, podemos fazer a desigualdade:
Organizando o expoente do :
Muito doido pra gente estimular algo. Então vamos supor que .
O resultado será esse:
Isso é verdade!
Portanto, por esse critério, a série converge. Mas não para por aí.
Passo 3
Pelo segundo critério:
Com isso,
Separando os expoentes do ,
Com expoente negativo, teremos
Isolando a fração para fora do limite:
Chegamos numa inconsistência do tipo “”. Vamos rearranjar a expressão para aplicarmos L’Hopital, ou seja, derivar nossos termos do limite.
Derivando:
Ufa! Quantas contas! Mas finalmente chegamos à conclusão de que a nossa série é convergente pelos dois critérios!