Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.3 - Ex. 14
Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
E aí, galerinha? Tudo na paz?
Bom, aqui vamos usar o Teste da Integral para estudar a divergência ou convergência da série.
Repare que antes disso vamos ter que achar o termo , já que só temos os termos da sequência da soma.
Relembrando o Teste da Integral:
Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em e seja . Então a série é convergente se, e somente se, a integral imprópria for convergente. Em outras palavras:
(i) Se for convergente, então é convergente.
(ii) Se for divergente, então é divergente.
Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio . É só olharmos os termos que conseguimos confirmar isso.
Passo 2
Show de bola, galera... Vamos começar reescrevendo nossa série.
Podemos notar que o denominador do segundo termo é o sempre o anterior somado a 3, enquanto o numerador continua sempre sendo 1. Estamos diante de uma série que pode ser escrita da seguinte forma:
Beleza....Partiu usar o Teste da Integral?
Passo 3
Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza? 
Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral da série e associá-lo a uma função . Nesse nosso caso, ficamos com:
Passo 4
Show de bola! Agora nesse passo calcularemos a seguinte integral imprópria:
Resolvendo a integral acima, temos:
Aplicando os limites de integração, teremos:
Como:
Temos que:
Passo 5
Opa! A nossa integral imprória divergiu!
Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é divergente!