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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 34c

Leonhard Euler foi capaz de calcular a soma exata da série p com p = 2 :

ζ x = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6

Utilize esse fato para encontrar a soma de cada série.

∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n ) 2

Passo 1

Fala, galerinha!

Aqui a gente precisa encontrar a soma de uma série:

∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n ) 2

Conhecendo a soma dessa outra série aqui:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6

Como você acha que podemos fazer isso??

Se você reparar, elas são bem parecidas. A única coisa que tem de diferente é aquele 2 ali no denominador. E se a gente conseguisse se livrar dele pra uma série ficar igual à outra???

Vasmos tentar!

Passo 2

Primeiro vamos tirar o 2 de dentro dos parênteses, elevando ele ao quadrado:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 4 n 2

Agora, uma propriedade! Quando trabalhamos com somatórios, podemos tirar constantes pra fora do somatório:

∑ n = 1 ∞ 1 4 n ² = 1 4 ∑ n = 1 ∞ 1 n ²

Eita! Num é que já achamos a série de soma conhecida que o enunciado nos dá:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6

Que beleza! Bastou utilizarmos um pouquinho de manipulação algébrica que deu tudo certo!

Substituindo esse resultado, teremos:

1 4 ∑ n = 1 ∞ 1 n ² = 1 4 . π 2 6

E nossa reposta final é:

∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n ) 2 = π 2 24

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n ) 2 = π 2 24

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