Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 8
3-8. Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
8.
Passo 1
Fala galera, tudo bem? O problema nos deu essa série aqui
E precisamos aplicar o teste da integral! A ideia desse teste é usar em séries que se parecem com funções que sabemos integrar! Se a integral associada convergir para um número, então a série também converge, já se a integral for divergente, então a série também será!
Bora lá?
Passo 2
Chamando , para determinarmos se a série converge ou diverge temos que aplicar a integral conforme o intervalo da série que nos foi dada. Dessa forma, nossa integral será:
Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:
E aí se a integral convergir, então a série também converge. Caso contrário, a série diverge. Então bora lá!
Passo 3
Resolvendo a integral primeiro, teremos:
Aqui vamos utilizar substituição de veriável, galera! Chamando , teremos que . Se substituirmos esses resultados na integral em questão, obteremos:
Aplicando o limite:
Sendo assim, a conclusão é de que a a série converge.