Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 26

Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica (como no Exemplo 6). Se for convergente, calcule sua soma.

Passo 1

Como funcionam as séries telescópicas?

Em geral as séries telescópicas tem uma multiplicação no denominador na fração que quando expandimos em duas frações conseguimos achar um padrão onde vários termos se cancelam e a soma se reduz a alguns termos.

Neste caso a multiplicação veio escondida, mas podemos fatorar o polinômio na parte de baixo e substituirmos

Passo 2

Agora precisamos mudar a cara deste termo, para isso vamos expandir sua fração

Precisamos achar o valor de e , então vamos fazer o MMC

E sabemos que

Então temos que

Distribuindo as multiplicações

Colocando em evidencia

E agora, por igualdade de polinômios chegamos no sistema

Da primeira equação podemos tirar que

Substituindo na segunda

Voltando ao

Então nosso termo geral tem a cara

Logo nossa série

Passo 3

Buscando agora quanto vale nossa soma, vamos analisar o

Analisando o padrão, percebemos que todos os termos de cancelam, menos as primeiras frações dos dois primeiros termos, porque os denominadores negativos começam no e só aumentam, e as segundas dos dois últimos, porque as frações positivas terminam em então nossa soma se reduz a