Depois da injeção de uma dose de insulina, a concetração de insulina no sistema do paciente decai exponencialmente e por isso pode ser escrito como , onde representa o tempo em horas e é uma constante positiva.

a) Se uma dose é injetada a cada horas, escreva uma expressão para a soma das concentrações residuais pouco antes da -ésima injeção.

b) Determine o limite de concetração pré-injeção.

c) Se a concentração de insulina deve ser sempre igual ou superior a um valor crítico , determine uma dose mínima em termos de , e .

a) Então galera, a concentração de insulina no sistema do paciente imediatamente antes da segunda injeção pode ser expressa como:

Assim como o enunciado nos disse! Seguindo nessa lógica, imediatamente antes da terceira injeção teremos:

Imediatamente antes da quarta injeção teremos:

E imediatamente antes da -ésima injeção, teremos:

Aqui conseguimos notar que se trata de uma série geométrica, galera! Para estabelecermos a sequência dessa série devemos utilizar a relação:

No qual é o primeiro termo da sequência e é a razão comum. No nosso caso, e , logo:

b) Para determinarmos o limite de concentração pré-injeção, vamos imaginar um , tudo bem? Sendo assim, teremos o seguinte:

Reescrevendo o limite de outra forma:

Aplicando o limite de fato, obteremos:

Beleza? Bora pro último termo?

c) De acordo com o enunciado temos o seguinte:

Isolando , teremos:

Sendo assim, para uma dose mínima:

Que é um resultado que faz sentido, não é mesmo? Já que só pode ser maior ou igual àquilo que demonstramos, então o mínimo seria utilizando o sinal de igualdade.

Espero ter ajudado!