Seja

a) Você pensa que ou ?

b) Some uma série geométrica para encontrar o valor de .

c) Quantas representações decimais o número tem?

d) Quais os números que têm mais de uma representação decimal?

a) Pensa comigo, se há infinitos após a vírgula, como saber qual o último algarismo significativo?

Digo, vamos pensar em um número que representa uma dimensão física real. A distância entre duas cidades, por exemplo. Qual a diferença entre dizer que duas cidades estão a de distância, e dizer que elas estão a ?

Repare que em algum momento, estaremos considerando a distância de um átomo para outro. Por isso há um limite na quantidade de dígitos em que um valor tem significado.

Ou seja, se há infinitos podemos dizer ao certo que .

Aqui uma observação importante:

Para algumas aplicações físicas e reais, esses nem precisam ser infinitos. Basta que estejam em uma quantidade suficiente de casas em que não são mais relevantes.

b) Então pessoal, temos que pode ser escrito como:

Ou seja:

Que é o mesmo que:

E isso pode ser expresso como uma série geométrica com o primeiro termo e a razão . Porque:

Então é totalmente possível escrever essa mesma soma como uma soma geométrica com intervalo , não é mesmo? Em outras palavras:

Aqui vale ressaltar que chegaríamos em uma série geométrica mesmo se o enunciado não nos sugerisse. Sabemos que para resolver uma série geométrica devemos fazer:

Reescrevendo a nossa série, teremos:

Como , assim como foi dito acima e, ademais, , então teremos:

Sendo assim, .

c) Agora que acabamos de descobrir que também é representado como , então podemos concluir que o número possui duas representações:

d) O número que nos foi dado no problema é apenas um exemplo, uma vez que existem infinitos números racionais. Sendo assim, fazendo uma generalização, todos os números racionais que possuem dízimas periódicas como resultado podem ser escritos em mais de uma maneira. Alguns exemplos: