Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 32
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo certo?
Vamos começar nossa questãozinha com um resumo do que precisamos fazer.
Primeiro, para determinar se uma série é convergente ou divergente.
Caso nossa série seja convergente, vamos precisar encontrar sua soma, ou seja, o resultado de somar todos os termos da nossa série infinita.
Passo 2
Vamos dar uma trabalhada nessa expressão? Acho que vamos conseguir algo maneiro dela. Podemos escrever o somatório de uma soma como uma soma de somatórios. Assim,
Dessa forma podemos ver que temos duas séries geométricas agora! Sabemos disso pois as séries geométricas tem formato .
Uma vantagem de termos uma série geométrica é que podemos analisar sua convergência ou divergência simplesmente analisando o valor de , nos poupando do cálculo do limite.
Se a série é convergente.
Se a série é divergente.
A primeira série tem razão e a segunda tem razão .
Como e , as duas séries são convergentes!
Passo 3
Já descobrimos que as séries convergem. Agora, vamos calcular a soma delas! Começando com a série da esquerda.
Mais uma vez ter uma série geométrica facilita nossa vida por que esse tipo de série já vem com uma equação prontinha para calcularmos sua soma.
A soma dos elementos desse tipo de série é dada por:
Substituindo os valores, temos:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a soma da série da direita!
A soma dos elementos dessa série é dada por:
Substituindo os valores, temos:
Passo 5
Agora que encontramos a soma das duas sequências separadamente, podemos somá-las e assim termos a soma da série completa.
Resposta
A série é convergente e converge para .