17-26. Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

17. 3 + 4 + 16 / 3 - 64 / 9 + …

Passo 1

Uma série geométrica tem o seguinte formato:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a + a r + a r 2 + …

No qual r é a relação comum e a é o primeiro termo da sequência. Se r ≥ 1 , a série é divergente. Caso contrário, se r < 1 , então a série é convergente e sua soma é:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Passo 2

Tudo bem, já demos uma relembrada na teoria sobre séries geométricas. Assim como comentado no passo anterior, para vermos se a série é convergente ou divergente, teremos que descobrir a razão comum r ! No nosso caso, temos o seguinte:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a + a r + a r 2 + … = 3 + 4 + 16 3 - 64 9 + …

Para descobrirmos r , vamos igualar os dois primeiros termos po, se liga:

a = 3

a r = 4

Substituindo o valor de a , teremos:

3 . r = 4

r = 4 3

Sendo assim, temos que r = 4 3 > 1 . Dessa forma, podemos concluir que a série é divergente.

Resposta

A   s é r i e   é   d i v e r g e n t e .

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