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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 11

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

3 + 2 + 4 3 + 8 9 + …

Passo 1

E aí, galera! Tudo joia?

Aqui vamos precisar descobrir se a série: 3 + 2 + 4 3 + 8 9 + … é convergente ou divergente.

Olhando os termos da soma, podemos ver que há uma certa relação entre eles: cada termo é o anterior multiplicado de 2 / 3 . Quando temos essa relação temos uma série geométrica:

∑ n = 1   ∞ a r n - 1

Esse tipo de série converge se r < 1 .

Por fim, esse tipo de série tem expressão pronta para cálculo da soma:

s n = a 1 - r

Sempre que possível é bom tentarmos encontrar uma série geométrica, já que facilita bastante a análise de convergência e o valor da soma.

Dito isso, vamos para nossa resolução!

Passo 2

Antes de tentarmos provar a convergência dessa série, vamos tentar achar o termo geral, para sabermos como ela se comporta.

Essa série é uma série geométrica com primeiro termo da soma dada no enunciado a 1 = 3 e razão   r = 2 3 . Como descobrimos isso? O a 1 é sempre igual ao primeiro termo e para achar o r , basta dividir pelo primeiro:

r = a 2 a 1 = 2 3

Então podemos escrever essa série como:

∑ n = 0 ∞ 3 2 3 n

Passo 3

Agora que sabemos que se trata de uma série geométrica, basta testarmos o r pra saber se ela converge. Para que ela convirja r < 1 , neste caso r = 2 3 e sabemos que 2 3 < 1 então a série converge.

Para saber para qual valor a série converge, basta usar a fórmula

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

Jogando a = 3 e r = 2 3

∑ n = 0 ∞ 3 2 3 n = 3 1 - 2 3 = 3 1 3 = 9

Resposta

3 + 2 + 4 3 + 8 9 + … = 9

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