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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 27

Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.

∑ n = 1 ∞ 3 n + 2 n 6 n

Passo 1

Hey, pessoal! Tudo de boa?

Nossa questão pede para acharmos a convergência ou divergência da série e sua soma. Para isso vamos precisar prestar atenção na nossa série e reparar se ela se parece com algum tipo de série conhecida, o que facilitaria nossa vida.

Pelas propriedades das séries, podemos separar essa série em duas

∑ n = 1 ∞ 3 n + 2 n 6 n = ∑ n = 1 ∞ 3 n 6 n + ∑ n = 1 ∞ 2 n 6 n

No caso destas duas, ambas parecem muito com uma série geométrica, basta que manipulemos um pouco, então vai ser fácil provar a convergência de ambas.

Quando temos uma série geométrica a carinha dela é nesse estilo aqui:

∑ n = 1   ∞ a r n - 1

Esse tipo de série converge se r < 1 .

Por fim, esse tipo de série tem expressão pronta para cálculo da soma:

s n = a 1 - r

Vamos, então?

Passo 2

Para a primeira série

∑ n = 1 ∞ 3 n 6 n = ∑ n = 1 ∞ 3 6 n = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n

Para que ela seja geométrica, ela precisa estar no formato

∑ n = 0 ∞ a r n

Mas a nossa série parece muito uma série geométrica com a = 1 e r = 1 2 , mas sem o primeiro termo, então vamos falar que ela é uma geométrica e vamos subtrair este termo. No caso das séries geométricas, o primeiro termo é sempre igual a a .

∑ n = 1 ∞ 1 2 n = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n - 1

Repara que “transformamos” a nossa série na série geométrica mudando o limite do somatório de 1 para 0, maaaas precisamos descontar esse termo que foi adicionando, no caso o: 1 2 0 = 1 . Daí que aparece esse - 1 , beleza??

Agora a série geométrica nós sabemos o valor, como r = 1 2 < 1 , ela converge, então

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

Na nossa série

∑ n = 1 ∞ 1 2 n = 1 1 - 1 2 - 1 = 1 1 2 - 1 = 2 - 1

∑ n = 1 ∞ 1 2 n = 1

Passo 3

Para a segunda série

∑ n = 1 ∞ 2 n 6 n = ∑ n = 1 ∞ 2 6 n = ∑ n = 1 ∞ 1 3 n

Utilizando a mesma ideia da outra série, podemos dizer que

∑ n = 1 ∞ 1 3 n = ∑ n = 0 ∞ 1 3 n - 1

Como diminuímos um valor no índice da série é como se estivéssemos começando a somar um valor antes que o que deveríamos, por isso o - 1 aparece, para cancelar esse primeiro termo que quando substituímos n = 0 na série o termo vale 1 .

Como r = 1 3 < 1 , a série converge

∑ n = 1 ∞ 1 3 n = 1 1 - 1 3 - 1 = 1 2 3 - 1 = 3 2 - 1

∑ n = 1 ∞ 1 3 n = 1 2

Passo 4

Voltando para a série principal

∑ n = 1 ∞ 3 n + 2 n 6 n = ∑ n = 1 ∞ 3 n 6 n + ∑ n = 1 ∞ 2 n 6 n

Agora nós sabemos os valores das duas séries da esquerda, substituindo

∑ n = 1 ∞ 3 n + 2 n 6 n = 1 + 1 2 = 3 2

Resposta

∑ n = 1 ∞ 3 n + 2 n 6 n = 3 2

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