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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 35

Expresse o número como uma razão de inteiros.

0 , overset(-)(2) = 0,2222 ...

Passo 1

Para transformar isso numa razão de inteiros, ou uma fração, vamos pegar a parte fixa e somar em uma série que vai representar a parte que se repete. Essa série é uma série geométrica, que nós sabemos como encontrar o valor pela fórmula

sum_(n = 0)^(oo) a r^n = (a)/(1 - r)

Passo 2

Para esse numero, a parte fixa é o 0 e o 2 se repete infinitamente, assim

0,2222 ... = 0 + (2)/(10) + (2)/(100) + (2)/(1000) + (1)/(10000) + ...

Que é a mesma coisa que

0,2222 ... = sum_(n = 1)^(oo) 2 ((1)/(10))^n

Ela inicia em 1 porque não temos um termo 2 inteiro, então a série não tá no formato de geométrica. Para resolver isso, vamos somar 2 dos dois lados e depois subtraímos, ou dividimos o resultado por 10 , que nos dá o mesmo efeito

2 , 2222 ... = sum_(n = 0)^(oo) 2 ((1)/(10))^n

Passo 3

Aplicando a fórmula

sum_(n = 0)^(oo) 2 ((1)/(10))^n = (2)/(1 - (1)/(10)) = (2)/((9)/(10)) = (20)/(9)

Então

2,2222 ... = (20)/(9)

Dividindo os dois lados por 10

0 , 2222 ... = (2)/(9)

Resposta

0,2222 ... = (2)/(9)

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