Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 6
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
6-
Passo 1
Fala, meus amigos! Tudo na paz?
Precisamos determinar se nossa série:
Converge ou diverge. Para isso vamos aplicar o Teste da Integral:
Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em e seja . Então a série é convergente se, e somente se, a integral imprópria for convergente, ou seja, se o limite da integral imprópria existe. Em outras palavras:
(i) Se for convergente, então é convergente.
(ii) Se for divergente, então é divergente.
Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:
Antes disso vamos precisar analisar nossa função e ver se ela cumpre os requisitos para o uso do Teste da Integral.
Passo 2
Primeiramente temos que fazer a integral de uma função que aceite valores diferentes dos números naturais, para isso vamos usar a variável ao invés de . E a somatória ao invés da integral.
Vamos analisar : vemos que os termos sempre serão positivos e que não temos restrições para os valores que pode assumir, portanto a função é positiva e contínua. Podemos ver também que a função é decrescente:
Pois quanto mais cresce maior fica o denominador e menor ficam os termos da sequência.
Passo 3
Calculando a integral que temos dentro do limite:
Aplicando a substituição:
Teremos:
Logo:
Logo se voltarmos para o domínio de :
Aplicando o intervalo teremos:
Passo 4
Agora que já resolvemos nossa integral, vamos voltar para o limite.
Por fim, calculamos nosso limite. Como cresce infinitamente nosso primeiro termo vai tender a zero e nosso segundo termo permanece constante, pois não depende de :
Como deu um número constante logo isso nos diz que a integral converge e por consequência, a série é convergente.
Resposta
Série convergente.