Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.9 - Ex. 7
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Olá galerinha, tudo na paz!? Bora lá!
O que o enunciado nos pede? Que para a função encontramos uma série de potências e determinamos seu intervalo de convergência.
Deu um branco, como resolver isso?
Calma, vamos pensar juntos. Primeiro, olhe e analise bem a função . Repare que conhecemos uma série de potência que tem essa carinha.
Olhe para a série geométrica abaixo, onde é a razão:
Reparou como são parecidas as expressões? Agora já temos um caminho de resolução. Precisamos então fazer alguns ajustes para que fique o mais parecida possível e então expressar em série de potência.
Isso beleza? Mas o intervalo de convergência? Já para determinarmos o intervalo de convergência, vamos utilizar do critério de convergência da própria serie geométrica. A série converge para
Agora bora resolver!
Passo 2
Vamos comparar e a serie geométrica:
Agora, vamos fazer uma mudança com a nossa para que ela se pareça com essa :
Percebam uma coisa. Se trocarmos por , temos exatamente a função S vezes . Portanto, basta mudar por na série e multiplica-la por , isto é:
Assim, temos a seguinte serie de potência para :
Passo 3
Para o intervalo de convergência.
Vamos lembrar o que mencionamos antes, onde a série converge para:
E avaliando nossa serie, temos que a razão é:
Logo,
Portanto, o seu intervalo de convergência é .
Resposta
Intervalo de convergência: .