Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 35
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo certo?
Vamos começar nossa questãozinha entendendo o que precisaremos fazer.
Primeiro, determinar se nossa série é convergente ou divergente. Lembrando que convergência significa que a soma da série se estabiliza em um número, enquanto divergência significa que a soma não se estabiliza e cresce para infinito ou não converge para um valor específico.
Caso nossa série seja convergente, vamos precisar encontrar sua soma, ou seja, o resultado de somar todos os termos da nossa série infinita.
Aqui veremos que estamos tratando de uma série geométrica, que é um tipo de série onde a determinação da convergência e da soma ficam bem mais simples.
Bora lá então!
Passo 2
Uma série geométrica tem formato
Aqui temos uma série geométrica com primeiro termo e razão .
Uma vantagem de termos uma série geométrica é que podemos analisar sua convergência ou divergência simplesmente analisando o valor de , nos poupando do cálculo do limite.
Se a série é convergente.
Se a série é divergente.
Como o valor de , nós temos uma série convergente!
Passo 3
Já descobrimos que a série converge. Agora, vamos calcular a soma dessa série! Assumindo o primeiro elemento como .
A soma infinita de termos de uma série geométrica é dada por:
Substituindo os valores, temos:
Assim, podemos dizer que a série converge para .
Resposta
A série é convergente e converge para .