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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.2 - Ex. 83

Mostre com um exemplo que ∑ a n b n   pode divergir mesmo quando ∑ a n e ∑ b n convergem e nenhum b n se iguala a 0.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

#partiudemonstração

Vamos considerar duas séries geométricas definidas por a n = b n = k n   ≠ 0 com k < 1 . Matematicamente descritas como ∑ n = 0 ∞ a n = ∑ n = 0 ∞ b n   para todo n.

Nós sabemos que as séries geométricas convergem porque elas possuem razão r = k < 1 . Entretanto, a n b n = 1 para todo n, desde que a n = b n para todo n.

A sequência definida por a n b n também é uma série geométrica com razão 1, portanto, divergente.

Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a demonstração acima.

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Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma. ∑ n = 1 ∞ 1 + 2 n 3 n
27-42. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.27. 1 3 + 1 6 + 1 9 + 1 12 + 1 15 + …
27-42. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.28. 1 3 + 2 9 + 1 27 + 2 81 + 1 243 + 2 729 + …
27-42. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.29. ∑ k = 2 ∞ k 2 k ² - 1 ²
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma. ∑ n = 1 ∞ 0,8 n - 1 - 0,3 n