Mostre com um exemplo que ∑ a n b n   pode divergir mesmo quando ∑ a n e ∑ b n convergem e nenhum b n se iguala a 0.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

#partiudemonstração

Vamos considerar duas séries geométricas definidas por a n = b n = k n   ≠ 0 com k < 1 . Matematicamente descritas como ∑ n = 0 ∞ a n = ∑ n = 0 ∞ b n   para todo n.

Nós sabemos que as séries geométricas convergem porque elas possuem razão r = k < 1 . Entretanto, a n b n = 1 para todo n, desde que a n = b n para todo n.

A sequência definida por a n b n também é uma série geométrica com razão 1, portanto, divergente.

Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a demonstração acima.

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