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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.2 - Ex. 85

Mostre com um exemplo que ∑ ( a n / b n ) pode convergir para algum número diferente de A / B mesmo quando A = ∑ a n , B = ∑ b n ≠ 0 e nenhum b n se iguala a 0.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

#partiudemonstração

Vamos considerar duas séries geométricas definidas por a n = 1 2 n e b n = 1 4 n . Nós sabemos que essas séries geométricas convergem para uma soma A = 2 e B = 4 3 . Então, A B = 3 2 .

Entretanto, observe que ∑ a n b n = ∑ 1 4 n = 4 3 . Assim, temos que a série a n b n converge para um valor diferente de A B .

Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a demonstração acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma. ∑ k = 1 ∞ k ( k + 2 ) k + 3 2
Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma. ∑ n = 1 ∞ n n + 5
Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma. ∑ n = 1 ∞ e n n 2
Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma. ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n 2 + 1 2 n 2 + 1
Determine se a série é convergente ou divergente expressando s n como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.46. ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ 1 n 2 - cos ⁡ 1 n + 1 2