Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 38
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.
Passo 1
E aí, galerinha? Tudo joia?
Bom, aqui precisamos analisar se nossa série é convergente ou divergente. Lembrando que convergência significa que a soma da série se estabiliza em um número, enquanto divergência significa que a soma não se estabiliza e cresce para infinito ou não converge para um valor específico.
Caso nossa série seja convergente, vamos precisar encontrar sua soma, ou seja, o resultado de somar todos os termos da nossa série infinita.
Aqui veremos que estamos tratando de uma série geométrica, que é um tipo de série onde a determinação da convergência e da soma ficam bem mais simples:
Podemos analisar sua convergência ou divergência simplesmente analisando o valor da razão , nos poupando do cálculo do limite.
Se a série é convergente.
Se a série é divergente.
Bora lá então!
Passo 2
A série geométrica tem formato:
Nossa série do enunciado não parece muito com esse formato de cara, então vamos precisar manipular um pouco.
Usando a propriedade:
Podemos usar mais essa propriedade da potenciação e fazer:
Aqui temos uma série geométrica com primeiro termo e razão .
Como o valor de , nós temos uma série convergente!
Passo 3
Já descobrimos que a série converge. Agora, vamos calcular a soma dessa série! Assumindo o primeiro elemento como . A soma infinita de termos de uma progressão geométrica é dada por:
Calculando o valor de , já que a soma começa em 0, temos:
Substituindo os valores e fazendo a subtração de frações do denominador, temos:
Fazendo a divisão de frações, chegamos em:
Assim, podemos dizer que a série converge para .
Resposta
A série é convergente e converge para .